Formulas y Cálculos
Aumento máximo de un telescopio
Los aumentos, nos indica la proporción de la distancia que reducimos al mirar a través de un telescopio. si observamos a la Luna con 100 aumentos (100x) y como sabemos que la distancia de la Tierra a la Luna promedio es de unos 384.000 kilómetros, nos aparecerá tal cual seria observada desde solo 3.840 kilómetros. Esto se calcula dividiendo la distancia por los aumentos.
Para saber cuantos aumentos estamos utilizando debe conocerse la distancia focal de nuestro telescopio y la distancia focal del ocular utilizado, dado que son estos últimos los que proveen de la ampliación a cualquier telescopio. A menor distancia focal, mayor será la ampliación utilizada. Para calcular los aumentos implementados debe dividirse la distancia focal del telescopio por la distancia focal del ocular:
A = Ft [mm] / Fo [mm]
Donde A son los aumentos, Ft la focal del telescopio y Fo la focal del ocular. Por ejemplo: si utilizamos un telescopio de 910 milímetros de focal, con un ocular típico de 25 mm, la ampliación es de 36.4x.
Pero claro que existe un límite para los aumentos en un telescopio, el cual está dado por el diámetro del objetivo, a mayor diámetro mayor será la posibilidad de utilizar grandes ampliaciones. Si se sobrepasa el límite recomendado se hace imposible obtener imágenes nítidas y aparece la llamada “mancha de difracción”, una aberración óptica producto del exceso de aumentos. Recordemos que a la hora de observar cualquier objeto lo importante no es tener un “primer plano” del mismo sino poder observarlo de la manera más nítida que nos permita el instrumento y las condiciones de observación.
Es posible calcular el límite de ampliación teórico (en condiciones óptimas) para cualquier telescopio conociendo simplemente el diámetro del objetivo. Hay varias versiones de la formula, una dice que la máxima ampliación corresponde a 60 veces el diámetro del objetivo en pulgadas:
Amax = 60 . D [pulgadas]
Donde Amax son los aumentos máximos teóricos, y D es el diámetro del objetivo en pulgadas. Por ejemplo: para un telescopio de 114 mm de diámetro [4.5 pulgadas] la máxima ampliación es de unos 270x (correspondientes a un ocular de 3.3 mm)
Otra formula propone multiplicar por 2.3 el diámetro del objetivo en milímetros:
Amax = 2.3 . D [mm]
Si utilizamos el ejemplo anterior, el resultado se acerca bastante: 262.2x. De todas formas recordemos que es un limite teórico solo aplicable a ópticas perfectas en condiciones ideales. Lo mas importante para recordar es que los aumentos no son importantes, no hay que preocuparse a la hora de adquirir un telescopio la cantidad de aumentos que brinda, dado que en la práctica es mucho mas apreciada la definición y la nitidez de la imagen.
Muchos fabricantes menores de equipos proponen aumentos de 600x o 750x. Debe saberse que estas medidas no se corresponden con la realidad de los telescopios, aún cuando ellos lo justifiquen adicionando multiplicadores de focal (barlows), dado que al utilizar las formulas correspondientes se observa que el límite de ampliación es superado ampliamente, brindando imágenes de muy baja luminosidad y poca calidad. Para emplear un lente de Barlow se aplicará el multiplicador indicado por el fabricante al aumento que genere el ocular. Por ejemplo, un Barlow de 2× duplicará el aumento de
cualquier ocular, mientras que uno de 3× lo triplicará.
Longitud Focal
La longitud focal es distancia comprendida entre el objetivo del telescopio (sea un reflector o refractor) y el plano focal del mismo. Esta medida varia según el diámetro del objetivo y del diseño del mismo (la curvatura del espejo, por ejemplo) Este dato esta siempre presente en los telescopios, incluso impreso sobre los mismos dado que es fundamental para determinar muchas características adicionales del equipo. La medida se suele dar en milímetros y sirve para calcular cosas como el aumento, la relación focal, etc.
Relación focal de un telescopio
La relación focal de un telescopio se refiere a la razón obtenida mediante división de la
longitud focal por la abertura, donde ƒ será la relación focal, F la longitud focal en milímetros, y A la abertura en milímetros, todo en las mismas unidades.
ƒ = F [mm] / A [mm]
Cuanto mas corta la longitud focal y una abertura mayor el objetivo, mas luminoso será el telescopio. Esta característica son aplicables para uso de astrofotografía y no en observación visual. ya que si trabajamos con el mismo diámetro y los mismos aumentos, la imagen será igual de luminosa sin importar la razón focal del sistema óptico.
Así, un telescopio de 910 mm de focal (F), con 114 mm de diámetro (A) posee una razón focal de 8. Este valor sin unidades representa cuan luminoso es el telescopio para astrofotografía, donde se pueden reducir sustancialmente los tiempos de exposición si se utilizan sistemas de ƒ bajos.
En telescopios de diseño Schmidt-Cassegrain se suele utilizar, tanto para la observación visual como para la astrofotografía, un reductor de focal, que reduce el ƒ de un equipo ƒ10 a solo ƒ6.3, obteniéndose imágenes mas luminosas.
Es importante indicar que la nomenclatura en los ámbitos respectivos de la fotografía y la astronomía. En los lentes de cámara al número ƒ se le refiere como y en un telescopio, el número ƒ se le llamará siempre relación focal.
Resolución
Se llama resolución (o poder separador) a la capacidad de un telescopio de mostrar de forma individual a dos objetos que se encuentran muy juntos, el usualmente llamado “límite de Dawes”. Esta medida se da en segundos de arco y esta estrechamente ligada al diámetro del objetivo, dado que a mayor diámetro mayor es el poder separador del instrumento.
Cuando se habla de que por ejemplo un telescopio tiene una resolución de 1 segundo de arco se esta refiriendo a que esa es la mínima separación que deben poseer dos objetos puntuales para ser observados de forma individual. Hay que destacar que no depende de la ampliación utilizada, o sea que no se aumenta la resolución por utilizar mayores aumentos, un instrumento posee cierto poder separador intrínseco definido por las características técnicas que lo componen.
Para calcular la resolución de un telescopio se utiliza la siguiente fórmula:
R [“] = 4.56 / D [pulgadas]
En donde R es la resolución en segundos de arco, D es la apertura (diámetro del objetivo) en pulgadas (1 pulgada = 2.54 cm), y 4.56 es una constante. Hay que notar que el resultado del calculo es totalmente teórico, dado que el poder separador de cualquier instrumento instalado sobre la superficie terrestre está severamente influenciado por la atmósfera. Así, un telescopio de 114 mm de diámetro (4.5 pulgadas), posee una resolución teórica de aproximadamente 1 segundo de arco, pero en la practica esta se ve disminuida muchas veces a mas de la mitad.
Magnitud Límite
La magnitud máxima a la cual aspiramos observar es uno de los factores a la hora de iniciar nuestras observaciones. Esta característica esta íntimamente ligada al diámetro del objetivo, a mayor diámetro mayor será el poder recolector de luz el cual permitirá observar objetos mas débiles. Para calcularla se emplea la siguiente fórmula:
MLIMITE = 7,5 + 5 . Log D [cm]
Donde MLIMITE es la magnitud límite, y D es el diámetro del objetivo en cm. Para seguir con el ejemplo: en un telescopio de 114 mm de objetivo la magnitud mas baja observable será del orden de 12.78, en condiciones muy favorables, noche sin Luna y una atmósfera estable y transparente.
Hay que notar que el dato obtenido esta dado para magnitudes estelares (objetos puntuales) y no para objetos con superficie como galaxias, nebulosas, cúmulos globulares, etc, dado que en los catálogos el dato que aparece como magnitud está referido a la magnitud integrada del objeto, pero como posee superficie esta se distribuye en ella. Por eso, aunque una galaxia posea magnitud 10 probablemente no será observable porque su brillo se distribuye sobre su superficie. El calculo es válido para estrellas, asteroides y ese tipo de objetos puntuales (también con planetas lejanos como Urano y Neptuno)
Las condiciones atmosféricas y de polución lumínica así como la agudeza visual del observador cambien sustancialmente la magnitud visual límite observable. Cielos oscuros y experiencia observacional llevan a alcanzar el verdadero límite del telescopio.
Campo Visual
Se denomina campo visual al tamaño de la porción de cielo observado a través del telescopio con cierto ocular y trabajando bajo cierta ampliación. Para calcularlo se deben conocer los aumentos provistos con el ocular utilizado (ver mas arriba) y el campo visual del ocular (un dato técnico que depende del tipo de ocular y es provisto por el fabricante)
Por ejemplo: si utilizamos un ocular Plössl de 25 mm, el cual posee unos 50 grados de campo aparente en un telescopio de 910 mm de focal la ampliación es de unos 36x. Para calcular el campo visual se divide el campo aparente del ocular (50 grados en este caso) por la ampliación utilizada (36x), obteniéndose un campo real de unos 1.38 grados. Así podemos deducir que en esa configuración se podría observar perfectamente la Luna completa (que como promedio solo posee 0.5 grados de diámetro angular)
Cr [grados] = Ca [grados] / A
Donde Cr es el campo real en grados, Ca el campo aparente del ocular en grados y A es la ampliación que provee ese ocular. La formula es viable siempre y cuando no se estén utilizando multiplicadores de focal como los Barlows.
La importancia de saber con cuanto campo cuenta nuestra observación radica mas que nada en la hora de seleccionar el ocular adecuado. Para observar un cúmulo abierto laxo es conveniente utilizar oculares de campo amplio, con pocos aumentos. En observaciones planetarias o lunares sacrificar algo de campo visual para obtener mas ampliación es aceptable, sobre todo por que estos cuerpos son brillantes (recordar que al aumentar la ampliación se pierde algo de luz y algo de campo visual)
FÓRMULAS ADICIONALES
La pupila de salida en telescopios y binoculares
La pupila de salida (antiguamente denominada disco de Ramsden) se refiere al diámetro
del haz de luz que será proyectado hacia el ojo del observador por un ocular cualquiera,
lo cual determinará la luminosidad aparente o relativa de la imagen. Existen dos
fórmulas que pueden utilizarse, una para telescopios y otra para prismáticos, pero en
realidad ambas pueden emplearse indistintamente.
El diámetro de la pupila de salida producida en un telescopio por un ocular particular será
determinado por la fórmula P = f ∕ N, donde P corresponde a la pupila de salida
expresada en milímetros, f será el largo focal del ocular en cuestión, y N será la relación
focal del instrumento.
La pupila de salida en un binocular será determinada por la fórmula P = A ∕ M, donde P
corresponde a la pupila expresada en milímetros, A será la abertura del prismático en
milímetros, y M será el aumento señalado para el instrumento.
Por ejemplo, en un telescopio cuya relación focal sea ƒ/11, un ocular de 9 milímetros
producirá una pupila de salida con diámetro de 0.81 milímetros, mientras que en un
binocular 8×40 (el primer número representa el aumento, y el segundo la abertura) el
diámetro de la pupila será exactamente 5 milímetros.
El aumento producido en un telescopio por un ocular particular podrá también
determinarse empleando el concepto de salida pupila, mediante el uso de la fórmula M =
A ∕ P, donde M corresponde al aumento generado, A será la abertura del instrumento en
milímetros, y P corresponde a la pupila de salida (expresada en milímetros) que producirá
el ocular en cuestión.
Por ejemplo, en un telescopio con 80 milímetros de abertura, y que venga equipado con
un ocular que le provea una pupila de salida con diámetro de 0.81 milímetros, el aumento
producido será 99×. Empleando las fórmulas anteriores, resulta que este aumento
corresponde a un ocular de 9 milímetros.
Aumento mínimo de un telescopio, según la pupila de salida
El aumento mínimo que podría utilizar un telescopio dependerá principalmente de las
características en el ojo del observador, más que del telescopio mismo.
Suponiendo que la pupila de un observador —cuando éste acerque su ojo un ocular—
llegara a medir 7 milímetros (el valor tradicionalmente aceptado), el aumento mínimo del
telescopio será dado por la fórmula M = A ∕ 7, pero adoptando una pupila de 5
milímetros (un valor más realista) el aumento mínimo será M = A ∕ 5. Estas ecuaciones
podrían generalizarse bajo la expresión M = A ∕ p, donde M corresponde al aumento
mínimo del telescopio, A será la abertura del instrumento en milímetros, y p será el
diámetro máximo alcanzable por la pupila del aficionado.
La variable p se relaciona en parte con la oscuridad del lugar donde esté emplazado el
telescopio, pero vendrá determinada mayormente por la edad del observador. El valor de
p disminuye gradualmente desde 8 milímetros a los 15 años, hasta 4 a los 75 años, pero
estas cifras son aproximadas y se reportan grandes variaciones.
En síntesis, el aumento mínimo será aquel donde la pupila de salida iguale —pero nunca
supere— la pupila del ojo, pues de lo contrario una fracción de la luz captada por el
telescopio nunca será recibida por los ojos del observador.
Captación de luz en un telescopio relativa al ojo, o a otro instrumento
Si aceptamos como diámetro máximo de la pupila humana el valor de 5 milímetros,
entonces un telescopio de 200 milímetros tendrá una abertura 40 veces mayor que el ojo
humano. La captación de luz en este objetivo (versus la pupila del observador) alcanzará
unas 1,600 veces, exactamente el cuadrado de 40.
La fórmula sería L = (A ∕ 5)2 , donde L será la ganancia en captación de luz por el
telescopio relativa al ojo del observador, y A será la abertura en milímetros.
Para comparar la captación de luz entre dos instrumentos de distinta abertura se utilizará
la relación generalizada L = (A1 ∕ A2)2 , donde L será la ganancia en captación de luz por
el primer telescopio relativa al segundo telescopio, mientras que A1 y A2 serán las
aberturas respectivas de los instrumentos, ambas expresadas en milímetros y siendo la
primera la de mayor diámetro.
Por ejemplo, un telescopio de 150 milímetros captará cuatro veces más luz que uno de 75
milímetros. Esto ocurre porque el objetivo de 150 milímetros posee un diámetro que
duplica al de 75 milímetros, y en términos de área significará que la superficie colectora
de luz en este cristal crecerá en un factor de cuatro.
Límite aproximado de magnitud alcanzable por un telescopio
Aunque la magnitud estelar alcanzable por un telescopio depende de muchos factores, el
más importante será su abertura. La fórmula indicada a continuación proveerá una
aproximación razonable para este límite: Lt = Lo − 3.3 + 5.5 log A.
En esta ecuación Lt representa la magnitud alcanzable por un telescopio, Lo corresponde
a la magnitud alcanzada a simple vista por el observador (en el lugar donde esté ubicado
el instrumento), y A corresponde a la abertura en milímetros.
Por ejemplo, un telescopio de 100 milímetros que esté instalado bajo un cielo suburbano
que a simple vista muestre estrellas de magnitud 4.5, alcanzará una magnitud aproximada
de 12.2. De otra parte, un telescopio de 200 milímetros que se utilice bajo condiciones
excepcionales, en que el observador logre apreciar estrellas de magnitud 6.5, alcanzaría
una magnitud aproximada de 15.6.
Resolución de un telescopio, según el límite de Dawes
La resolución de un telescopio, es decir, su capacidad para discernir pequeños detalles en
la imagen, está determinada únicamente por su abertura.
La fórmula será R = 116 ∕ A, donde R corresponde a la resolución en segundos de arco,
y A será la abertura en milímetros. Por ejemplo, un telescopio de 80 milímetros podrá
resolver detalles tan pequeños como 1.45 segundos de arco.
Aunque existen otros métodos para calcular la resolución, se da aquí la fórmula estándar
denominada límite de Dawes. Los resultados obtenidos mediante esta ecuación son
especialmente útiles para la observación de estrellas dobles.
Resumen de Fórmulas
· Razón Focal (f/d): f/d = F [mm] / D [mm]
· Aumentos: A = F [mm] / Foc [mm]
· Ampliación Máxima: Amax = 2,3 x D
· Campo Real: Cr [grados] = Ca [grados] / A
· Resolución: R [“] = 4,56 / D [pulgadas]
· Magnitud Límite: M = 7,5 + 5 . Log D [cm]
donde…
f/d: Razón Focal
D: Diámetro del objetivo
A: Aumentos (Amax: Máximos Aumentos)
F: Distancia Focal del telescopio
Foc: Distancia Focal del ocular
Cr: Campo Real
Ca: Campo Aparente (ocular)
R: Resolución
M: Magnitud
Propiedades
D : Diámetro del objetivo
F : Distancia Focal del telescopio
Foc : Distancia Focal del ocular
Cr : Campo Real
Ca : Campo Aparente (ocular)
R : Resolución
M : MagnitudL